حل {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-5y=9$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=5y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 5y+9.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y+9}{4} في المعادلة الأخرى، 7x-4y=15.

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

اضرب 7 في \frac{5y+9}{4}.

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

اجمع \frac{35y}{4} مع -4y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

اطرح \frac{63}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{3}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3}{19} في x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

اضرب \frac{5}{4} في -\frac{3}{19} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

اجمع \frac{9}{4} مع -\frac{15}{76} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{39}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

لجعل 4x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

تبسيط.

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

اطرح 28x-16y=60 من 28x-35y=63 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

اجمع 28x مع -28x. حذف الحدين 28x و-28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-35y+16y=63-60$$

اجمع -35y مع 16y.

$$-19y=63-60$$

اجمع 63 مع -60.

$$-19y=3$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=-\frac{3}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3}{19} في 7x-4y=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

اضرب -4 في -\frac{3}{19}.

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

اطرح \frac{12}{19} من طرفي المعادلة.

$$7x=\frac{273}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{39}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$