حل {l}{4x-5y=7}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-5y=7$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=5y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 5y+7.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y+7}{4} في المعادلة الأخرى، 2x+3y=1.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

اضرب 2 في \frac{5y+7}{4}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

اجمع \frac{5y}{2} مع 3y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

اطرح \frac{7}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{11} في x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

اضرب \frac{5}{4} في -\frac{5}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

اجمع \frac{7}{4} مع -\frac{25}{44} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{13}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

لجعل 4x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

تبسيط.

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

اطرح 8x+12y=4 من 8x-10y=14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y-12y=14-4$$

اجمع -10y مع -12y.

$$-22y=14-4$$

اجمع 14 مع -4.

$$-22y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{11} في 2x+3y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

اضرب 3 في -\frac{5}{11}.

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

أضف \frac{15}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{26}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{13}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$