حل {l}{4x-2y=8}{2x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-2y=8$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=2y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، 2x+y=2.

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

اضرب 2 في \frac{y}{2}+2.

$$y+4+y=2$$

اجمع y مع y.

$$2y+4=2$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$2y=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{1}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

اضرب \frac{1}{2} في -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

اجمع 2 مع -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

لجعل 4x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 8,4\times 2x+4y=4\times 2$$

تبسيط.

$$8x-4y=16,8x+4y=8$$

اطرح 8x+4y=8 من 8x-4y=16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-4y-4y=16-8$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-4y=16-8$$

اجمع -4y مع -4y.

$$-8y=16-8$$

اجمع 16 مع -8.

$$-8y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 2x+y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-1=2$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$