حل {l}{4x+y=5}{2x-y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+y=5$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$4x=-y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+5}{4} في المعادلة الأخرى، 2x-y=-2.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)-y=-2$$

اضرب 2 في \frac{-y+5}{4}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}-y=-2$$

اجمع -\frac{y}{2} مع -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=-2$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

اضرب -\frac{1}{4} في 3.

$$x=\frac{-3+5}{4}$$

اجمع \frac{5}{4} مع -\frac{3}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

لجعل 4x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$2\times 4x+2y=2\times 5,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$8x+2y=10,8x-4y=-8$$

اطرح 8x-4y=-8 من 8x+2y=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+2y+4y=10+8$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+4y=10+8$$

اجمع 2y مع 4y.

$$6y=10+8$$

اجمع 10 مع 8.

$$6y=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 2x-y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3=-2$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$