حل {l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+y=-5$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$4x=-y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -y-5.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-5}{4} في المعادلة الأخرى، 3x-2y=-14.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

اضرب 3 في \frac{-y-5}{4}.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع -2y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

أضف \frac{15}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{41}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{11} في x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

اضرب -\frac{1}{4} في \frac{41}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

اجمع -\frac{5}{4} مع -\frac{41}{44} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{24}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

تبسيط.

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

اطرح 12x-8y=-56 من 12x+3y=-15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+8y=-15+56$$

اجمع 3y مع 8y.

$$11y=-15+56$$

اجمع -15 مع 56.

$$11y=41$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=\frac{41}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{11} في 3x-2y=-14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

اضرب -2 في \frac{41}{11}.

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

أضف \frac{82}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=-\frac{72}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{24}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$