حل {l}{4x+3y=5}{y=1-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 5 } \\ { y = 1 - x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة x لكلا الجانبين.

$$y+x=1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=5,x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=5$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+5}{4} في المعادلة الأخرى، x+y=1.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+y=1$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

اطرح \frac{5}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{4}$$

ضرب طرفي المعادلة في 4.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{5}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في -1.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

اجمع \frac{5}{4} مع \frac{3}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة x لكلا الجانبين.

$$y+x=1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=5,x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-3}&-\frac{3}{4-3}\\-\frac{1}{4-3}&\frac{4}{4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-3\\-5+4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة x لكلا الجانبين.

$$y+x=1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=5,x+y=1$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x+3y=5,4x+4y=4$$

اطرح 4x+4y=4 من 4x+3y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+3y-4y=5-4$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-4y=5-4$$

اجمع 3y مع -4y.

$$-y=5-4$$

اجمع 5 مع -4.

$$-y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-1=1$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-1$$