حل {l}{4x+3y=26}{3x-11y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 26 } \\ { 3 x - 11 y = - 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=26$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+26$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+26\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+26.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{4}+\frac{13}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-11y=-7.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}\right)-11y=-7$$

اضرب 3 في -\frac{3y}{4}+\frac{13}{2}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{2}-11y=-7$$

اجمع -\frac{9y}{4} مع -11y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{39}{2}=-7$$

اطرح \frac{39}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{53}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{53}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{13}{2}$$

اضرب -\frac{3}{4} في 2.

$$x=\frac{-3+13}{2}$$

اجمع \frac{13}{2} مع -\frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{4\left(-11\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-11\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}&\frac{3}{53}\\\frac{3}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}\times 26+\frac{3}{53}\left(-7\right)\\\frac{3}{53}\times 26-\frac{4}{53}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 26,4\times 3x+4\left(-11\right)y=4\left(-7\right)$$

تبسيط.

$$12x+9y=78,12x-44y=-28$$

اطرح 12x-44y=-28 من 12x+9y=78 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+9y+44y=78+28$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+44y=78+28$$

اجمع 9y مع 44y.

$$53y=78+28$$

اجمع 78 مع 28.

$$53y=106$$

قسمة طرفي المعادلة على 53.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 3x-11y=-7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-11\times 2=-7$$

اضرب -11 في 2.

$$3x-22=-7$$

أضف 22 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=2$$