حل {l}{4x+3y=11}{3x-7y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 11 } \\ { 3 x - 7 y = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=11,3x-7y=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=11$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+11.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{11}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+11}{4} في المعادلة الأخرى، 3x-7y=-1.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{11}{4}\right)-7y=-1$$

اضرب 3 في \frac{-3y+11}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{33}{4}-7y=-1$$

اجمع -\frac{9y}{4} مع -7y.

$$-\frac{37}{4}y+\frac{33}{4}=-1$$

اطرح \frac{33}{4} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{37}{4}y=-\frac{37}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{37}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{11}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-3+11}{4}$$

اجمع \frac{11}{4} مع -\frac{3}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=11,3x-7y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\3&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-7\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-7\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-7\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{37}&\frac{3}{37}\\\frac{3}{37}&-\frac{4}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{37}\times 11+\frac{3}{37}\left(-1\right)\\\frac{3}{37}\times 11-\frac{4}{37}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=11,3x-7y=-1$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 11,4\times 3x+4\left(-7\right)y=4\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$12x+9y=33,12x-28y=-4$$

اطرح 12x-28y=-4 من 12x+9y=33 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+9y+28y=33+4$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+28y=33+4$$

اجمع 9y مع 28y.

$$37y=33+4$$

اجمع 33 مع 4.

$$37y=37$$

قسمة طرفي المعادلة على 37.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 3x-7y=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-7=-1$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=1$$