حل {l}{4x+3y=-3}{3x+2y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 3 } \\ { 3 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=-3,3x+2y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=-3$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-3\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y-3.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{3}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y-3}{4} في المعادلة الأخرى، 3x+2y=-3.

$$3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{3}{4}\right)+2y=-3$$

اضرب 3 في \frac{-3y-3}{4}.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}+2y=-3$$

اجمع -\frac{9y}{4} مع 2y.

$$-\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}=-3$$

أضف \frac{9}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

ضرب طرفي المعادلة في -4.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{3}{4}y-\frac{3}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3-\frac{3}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في 3.

$$x=\frac{-9-3}{4}$$

اجمع -\frac{3}{4} مع -\frac{9}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=-3,3x+2y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 2-3\times 3}&\frac{4}{4\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-3\right)+3\left(-3\right)\\3\left(-3\right)-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=-3,3x+2y=-3$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\left(-3\right),4\times 3x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$12x+9y=-9,12x+8y=-12$$

اطرح 12x+8y=-12 من 12x+9y=-9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+9y-8y=-9+12$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-8y=-9+12$$

اجمع 9y مع -8y.

$$y=-9+12$$

اجمع -9 مع 12.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 3x+2y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times 3=-3$$

اضرب 2 في 3.

$$3x+6=-3$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$3x=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=3$$