حل {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$4m+9n=-35$$

اطرح 9n من طرفي المعادلة.

$$4m=-9n-35$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

عوّض عن m بالقيمة \frac{-9n-35}{4} في المعادلة الأخرى، 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

اضرب 3 في \frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

اجمع -\frac{27n}{4} مع -8n.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

أضف \frac{105}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{59}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$n=-3$$

عوّض عن n بالقيمة -3 في m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

اضرب -\frac{9}{4} في -3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

اجمع -\frac{35}{4} مع \frac{27}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=-2,n=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=-2,n=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

لجعل 4m و3m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

تبسيط.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

اطرح 12m-32n=72 من 12m+27n=-105 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

اجمع 12m مع -12m. حذف الحدين 12m و-12m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$27n+32n=-105-72$$

اجمع 27n مع 32n.

$$59n=-105-72$$

اجمع -105 مع -72.

$$59n=-177$$

قسمة طرفي المعادلة على 59.

$$n=-3$$

عوّض عن n بالقيمة -3 في 3m-8n=18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

اضرب -8 في -3.

$$3m+24=18$$

اطرح 24 من طرفي المعادلة.

$$3m=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$m=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=-2,n=-3$$