حل {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$361x+463y=-102$$

اطرح 463y من طرفي المعادلة.

$$361x=-463y-102$$

قسمة طرفي المعادلة على 361.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

اضرب \frac{1}{361} في -463y-102.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-463y-102}{361} في المعادلة الأخرى، 463x+361y=102.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

اضرب 463 في \frac{-463y-102}{361}.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

اجمع -\frac{214369y}{361} مع 361y.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

أضف \frac{47226}{361} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{84048}{361}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

اضرب -\frac{463}{361} في -1.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

اجمع -\frac{102}{361} مع \frac{463}{361} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

لجعل 361x و463x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 463 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 361.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

تبسيط.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

اطرح 167143x+130321y=36822 من 167143x+214369y=-47226 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

اجمع 167143x مع -167143x. حذف الحدين 167143x و-167143x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

اجمع 214369y مع -130321y.

$$84048y=-47226-36822$$

اجمع -47226 مع -36822.

$$84048y=-84048$$

قسمة طرفي المعادلة على 84048.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 463x+361y=102. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

اضرب 361 في -1.

$$463x-361=102$$

أضف 361 إلى طرفي المعادلة.

$$463x=463$$

قسمة طرفي المعادلة على 463.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-1$$