حل {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=20$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$30x+15y=675$$

اطرح 15y من طرفي المعادلة.

$$30x=-15y+675$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

اضرب \frac{1}{30} في -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+45}{2} في المعادلة الأخرى، 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

اضرب 42 في \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

اجمع -21y مع 20y.

$$-y+945=940$$

اطرح 945 من طرفي المعادلة.

$$-y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

اجمع \frac{45}{2} مع -\frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=20,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

لجعل 30x و42x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 42 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 30.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

تبسيط.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

اطرح 1260x+600y=28200 من 1260x+630y=28350 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

اجمع 1260x مع -1260x. حذف الحدين 1260x و-1260x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$630y-600y=28350-28200$$

اجمع 630y مع -600y.

$$30y=28350-28200$$

اجمع 28350 مع -28200.

$$30y=150$$

قسمة طرفي المعادلة على 30.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 42x+20y=940. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$42x+20\times 5=940$$

اضرب 20 في 5.

$$42x+100=940$$

اطرح 100 من طرفي المعادلة.

$$42x=840$$

قسمة طرفي المعادلة على 42.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=5$$