حل {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=3$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$3y-7x=-9$$

أضف 7x إلى طرفي المعادلة.

$$3y=7x-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7x}{3}-3 في المعادلة الأخرى، 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

اضرب 2 في \frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

اجمع \frac{14x}{3} مع 5x.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{29}{3}x=29$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{29}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=3$$

عوّض عن x بالقيمة 3 في y=\frac{7}{3}x-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

اضرب \frac{7}{3} في 3.

$$y=7-3$$

اجمع -3 مع 7.

$$y=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=4,x=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=4,x=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

لجعل 3y و2y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

تبسيط.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

اطرح 6y+15x=69 من 6y-14x=-18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

اجمع 6y مع -6y. حذف الحدين 6y و-6y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-14x-15x=-18-69$$

اجمع -14x مع -15x.

$$-29x=-18-69$$

اجمع -18 مع -69.

$$-29x=-87$$

قسمة طرفي المعادلة على -29.

$$x=3$$

عوّض عن x بالقيمة 3 في 2y+5x=23. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2y+5\times 3=23$$

اضرب 5 في 3.

$$2y+15=23$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$2y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=4,x=3$$