حل {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$3y-4x=8$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$3y-4x=8$$

أضف 4x إلى طرفي المعادلة.

$$3y=4x+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 8+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8+4x}{3} في المعادلة الأخرى، 2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

اضرب 2 في \frac{8+4x}{3}.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

اجمع \frac{8x}{3} مع -8x.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

اطرح \frac{16}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{16}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{5}{16}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5}{16} في y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

اضرب \frac{4}{3} في -\frac{5}{16} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

اجمع \frac{8}{3} مع -\frac{5}{12} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{9}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$3y-4x=8$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 4x من الطرفين.

$$3y-4x=8$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

لجعل 3y و2y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

تبسيط.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

اطرح 6y-24x=21 من 6y-8x=16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

اجمع 6y مع -6y. حذف الحدين 6y و-6y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8x+24x=16-21$$

اجمع -8x مع 24x.

$$16x=16-21$$

اجمع 16 مع -21.

$$16x=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$x=-\frac{5}{16}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5}{16} في 2y-8x=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

اضرب -8 في -\frac{5}{16}.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$2y=\frac{9}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{9}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$