حل {l}{3x-y=4}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-y=4,x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-y=4$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في y+4.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4+y}{3} في المعادلة الأخرى، x+y=1.

$$\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}+y=1$$

اجمع \frac{y}{3} مع y.

$$\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}=1$$

اطرح \frac{4}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{4}{3}y=-\frac{1}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{4}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{1}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{4} في x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{4}{3}$$

اضرب \frac{1}{3} في -\frac{1}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{1}{12}+\frac{4}{3}$$

اجمع \frac{4}{3} مع -\frac{1}{12} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-y=4,x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}\times 4+\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-y=4,x+y=1$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x-y=4,3x+3y=3$$

اطرح 3x+3y=3 من 3x-y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-y-3y=4-3$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y-3y=4-3$$

اجمع -y مع -3y.

$$-4y=4-3$$

اجمع 4 مع -3.

$$-4y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-\frac{1}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{4} في x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\frac{1}{4}=1$$

أضف \frac{1}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{5}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$