حل {l}{3x-y=19}{2x+7y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 2 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-y=19$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=y+19$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في y+19.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{19+y}{3} في المعادلة الأخرى، 2x+7y=5.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+7y=5$$

اضرب 2 في \frac{19+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{38}{3}+7y=5$$

اجمع \frac{2y}{3} مع 7y.

$$\frac{23}{3}y+\frac{38}{3}=5$$

اطرح \frac{38}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{23}{3}y=-\frac{23}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{23}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{19}{3}$$

اضرب \frac{1}{3} في -1.

$$x=\frac{-1+19}{3}$$

اجمع \frac{19}{3} مع -\frac{1}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 19+\frac{1}{23}\times 5\\-\frac{2}{23}\times 19+\frac{3}{23}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19,3\times 2x+3\times 7y=3\times 5$$

تبسيط.

$$6x-2y=38,6x+21y=15$$

اطرح 6x+21y=15 من 6x-2y=38 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-2y-21y=38-15$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-21y=38-15$$

اجمع -2y مع -21y.

$$-23y=38-15$$

اجمع 38 مع -15.

$$-23y=23$$

قسمة طرفي المعادلة على -23.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 2x+7y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+7\left(-1\right)=5$$

اضرب 7 في -1.

$$2x-7=5$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-1$$