حل {l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-8y=9$$

أضف 8y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=8y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 8y+9.

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8y}{3}+3 في المعادلة الأخرى، 4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

اضرب 4 في \frac{8y}{3}+3.

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

اجمع \frac{32y}{3} مع 3y.

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$\frac{41}{3}y=-22$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{41}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{66}{41}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{66}{41} في x=\frac{8}{3}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

اضرب \frac{8}{3} في -\frac{66}{41} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

اجمع 3 مع -\frac{176}{41}.

$$x=-\frac{53}{41}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

تبسيط.

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

اطرح 12x+9y=-30 من 12x-32y=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-32y-9y=36+30$$

اجمع -32y مع -9y.

$$-41y=36+30$$

اجمع 36 مع 30.

$$-41y=66$$

قسمة طرفي المعادلة على -41.

$$y=-\frac{66}{41}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{66}{41} في 4x+3y=-10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

اضرب 3 في -\frac{66}{41}.

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

أضف \frac{198}{41} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=-\frac{212}{41}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-\frac{53}{41}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$