حل {l}{3x-8y=-13}{5y+2x=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = - 13 } \\ { 5 y + 2 x = - 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-7$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-8y=-13$$

أضف 8y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=8y-13$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y-13\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 8y-13.

$$x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8y-13}{3} في المعادلة الأخرى، 2x+5y=-19.

$$2\left(\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}\right)+5y=-19$$

اضرب 2 في \frac{8y-13}{3}.

$$\frac{16}{3}y-\frac{26}{3}+5y=-19$$

اجمع \frac{16y}{3} مع 5y.

$$\frac{31}{3}y-\frac{26}{3}=-19$$

أضف \frac{26}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{31}{3}y=-\frac{31}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{31}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{8}{3}\left(-1\right)-\frac{13}{3}$$

اضرب \frac{8}{3} في -1.

$$x=\frac{-8-13}{3}$$

اجمع -\frac{13}{3} مع -\frac{8}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{8}{31}\\-\frac{2}{31}&\frac{3}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\left(-13\right)+\frac{8}{31}\left(-19\right)\\-\frac{2}{31}\left(-13\right)+\frac{3}{31}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-7,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\left(-8\right)y=2\left(-13\right),3\times 2x+3\times 5y=3\left(-19\right)$$

تبسيط.

$$6x-16y=-26,6x+15y=-57$$

اطرح 6x+15y=-57 من 6x-16y=-26 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-16y-15y=-26+57$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-16y-15y=-26+57$$

اجمع -16y مع -15y.

$$-31y=-26+57$$

اجمع -26 مع 57.

$$-31y=31$$

قسمة طرفي المعادلة على -31.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 2x+5y=-19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+5\left(-1\right)=-19$$

اضرب 5 في -1.

$$2x-5=-19$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=-1$$