حل {l}{3x-5y=7}{4x+2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 7 } \\ { 4 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-5y=7$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=5y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 5y+7.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y+7}{3} في المعادلة الأخرى، 4x+2y=5.

$$4\left(\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+2y=5$$

اضرب 4 في \frac{5y+7}{3}.

$$\frac{20}{3}y+\frac{28}{3}+2y=5$$

اجمع \frac{20y}{3} مع 2y.

$$\frac{26}{3}y+\frac{28}{3}=5$$

اطرح \frac{28}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{26}{3}y=-\frac{13}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{26}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{2} في x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{3}$$

اضرب \frac{5}{3} في -\frac{1}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع -\frac{5}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 7+\frac{5}{26}\times 5\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{3}{26}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 7,3\times 4x+3\times 2y=3\times 5$$

تبسيط.

$$12x-20y=28,12x+6y=15$$

اطرح 12x+6y=15 من 12x-20y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-20y-6y=28-15$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-20y-6y=28-15$$

اجمع -20y مع -6y.

$$-26y=28-15$$

اجمع 28 مع -15.

$$-26y=13$$

قسمة طرفي المعادلة على -26.

$$y=-\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{2} في 4x+2y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=5$$

اضرب 2 في -\frac{1}{2}.

$$4x-1=5$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$