حل {l}{3x-5y=10}{x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 10 } \\ { x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{5}{8}=0.625$$

$$y = -\frac{13}{8} = -1\frac{5}{8} = -1.625$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-5y=10,x+y=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-5y=10$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=5y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 10+5y.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{10+5y}{3} في المعادلة الأخرى، x+y=-1.

$$\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}+y=-1$$

اجمع \frac{5y}{3} مع y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=-1$$

اطرح \frac{10}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{13}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{8}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{13}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{13}{8} في x=\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{13}{8}\right)+\frac{10}{3}$$

اضرب \frac{5}{3} في -\frac{13}{8} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{65}{24}+\frac{10}{3}$$

اجمع \frac{10}{3} مع -\frac{65}{24} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{8},y=-\frac{13}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-5y=10,x+y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 10+\frac{5}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{8}\times 10+\frac{3}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\\-\frac{13}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{8},y=-\frac{13}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-5y=10,x+y=-1$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x-5y=10,3x+3y=3\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$3x-5y=10,3x+3y=-3$$

اطرح 3x+3y=-3 من 3x-5y=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-5y-3y=10+3$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5y-3y=10+3$$

اجمع -5y مع -3y.

$$-8y=10+3$$

اجمع 10 مع 3.

$$-8y=13$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=-\frac{13}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{13}{8} في x+y=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\frac{13}{8}=-1$$

أضف \frac{13}{8} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{5}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{8},y=-\frac{13}{8}$$