حل {l}{3x-4y=7}{x+3/2-y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 7 } \\ { \frac { x + 3 } { 2 } - y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-4y=7$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=4y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 4y+7.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y+7}{3} في المعادلة الأخرى، \frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}+3\right)-y=4$$

اجمع \frac{7}{3} مع 3.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-y=4$$

اضرب \frac{1}{2} في \frac{16+4y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-y=4$$

اجمع \frac{2y}{3} مع -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=4$$

اطرح \frac{8}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{7}{3}$$

اضرب \frac{4}{3} في -4.

$$x=\frac{-16+7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع -\frac{16}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

بسّط المعادلة الثانية لتصبح في الصيغة العامة.

$$\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

اضرب \frac{1}{2} في x+3.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-y=4$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}x-y=\frac{5}{2}$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-4\times \frac{5}{2}\\\frac{1}{2}\times 7-3\times \frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=-4$$