حل {l}{3x-4y=-6}{x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 6 } \\ { x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-4y=-6$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=4y-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-6\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y-2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y}{3}-2 في المعادلة الأخرى، x+2y=8.

$$\frac{4}{3}y-2+2y=8$$

اجمع \frac{4y}{3} مع 2y.

$$\frac{10}{3}y-2=8$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{10}{3}y=10$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{10}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=\frac{4}{3}y-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{3}\times 3-2$$

اضرب \frac{4}{3} في 3.

$$x=4-2$$

اجمع -2 مع 4.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{5}\times 8\\-\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{3}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x-4y=-6,3x+3\times 2y=3\times 8$$

تبسيط.

$$3x-4y=-6,3x+6y=24$$

اطرح 3x+6y=24 من 3x-4y=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-4y-6y=-6-24$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-6y=-6-24$$

اجمع -4y مع -6y.

$$-10y=-6-24$$

اجمع -6 مع -24.

$$-10y=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x+2y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times 3=8$$

اضرب 2 في 3.

$$x+6=8$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=3$$