حل {l}{3x-2y=7}{x+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 7 } \\ { x + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=7$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y+7.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+7}{3} في المعادلة الأخرى، x+3y=-5.

$$\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}+3y=-5$$

اجمع \frac{2y}{3} مع 3y.

$$\frac{11}{3}y+\frac{7}{3}=-5$$

اطرح \frac{7}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{3}y=-\frac{22}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{7}{3}$$

اضرب \frac{2}{3} في -2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع -\frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 7+\frac{2}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{3}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x-2y=7,3x+3\times 3y=3\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$3x-2y=7,3x+9y=-15$$

اطرح 3x+9y=-15 من 3x-2y=7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-2y-9y=7+15$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-9y=7+15$$

اجمع -2y مع -9y.

$$-11y=7+15$$

اجمع 7 مع 15.

$$-11y=22$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x+3y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3\left(-2\right)=-5$$

اضرب 3 في -2.

$$x-6=-5$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$