حل {l}{3x-2y=60}{2x+3y=17.2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 60 } \\ { 2 x + 3 y = 17.2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{1072}{65} = 16\frac{32}{65} \approx 16.492307692$$

$$y = -\frac{342}{65} = -5\frac{17}{65} \approx -5.261538462$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=60$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+60$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+60\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 60+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+20$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y}{3}+20 في المعادلة الأخرى، 2x+3y=17.2.

$$2\left(\frac{2}{3}y+20\right)+3y=17.2$$

اضرب 2 في \frac{2y}{3}+20.

$$\frac{4}{3}y+40+3y=17.2$$

اجمع \frac{4y}{3} مع 3y.

$$\frac{13}{3}y+40=17.2$$

اطرح 40 من طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{3}y=-22.8$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{342}{65}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{342}{65} في x=\frac{2}{3}y+20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{342}{65}\right)+20$$

اضرب \frac{2}{3} في -\frac{342}{65} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{228}{65}+20$$

اجمع 20 مع -\frac{228}{65}.

$$x=\frac{1072}{65}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\17.2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 60+\frac{2}{13}\times 17.2\\-\frac{2}{13}\times 60+\frac{3}{13}\times 17.2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1072}{65}\\-\frac{342}{65}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=60,2x+3y=17.2$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 60,3\times 2x+3\times 3y=3\times 17.2$$

تبسيط.

$$6x-4y=120,6x+9y=51.6$$

اطرح 6x+9y=51.6 من 6x-4y=120 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-4y-9y=120-51.6$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-9y=120-51.6$$

اجمع -4y مع -9y.

$$-13y=120-51.6$$

اجمع 120 مع -51.6.

$$-13y=68.4$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=-\frac{342}{65}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{342}{65} في 2x+3y=17.2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\left(-\frac{342}{65}\right)=17.2$$

اضرب 3 في -\frac{342}{65}.

$$2x-\frac{1026}{65}=17.2$$

أضف \frac{1026}{65} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{2144}{65}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1072}{65}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1072}{65},y=-\frac{342}{65}$$