حل {l}{3x-2y=6}{2x+3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{32}{13} = 2\frac{6}{13} \approx 2.461538462$$

$$y=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=6,2x+3y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=6$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y}{3}+2 في المعادلة الأخرى، 2x+3y=7.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+3y=7$$

اضرب 2 في \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+3y=7$$

اجمع \frac{4y}{3} مع 3y.

$$\frac{13}{3}y+4=7$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{3}y=3$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{9}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{13} في x=\frac{2}{3}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{9}{13}+2$$

اضرب \frac{2}{3} في \frac{9}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{6}{13}+2$$

اجمع 2 مع \frac{6}{13}.

$$x=\frac{32}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{32}{13},y=\frac{9}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=6,2x+3y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 6+\frac{2}{13}\times 7\\-\frac{2}{13}\times 6+\frac{3}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{13}\\\frac{9}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{32}{13},y=\frac{9}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=6,2x+3y=7$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times 3y=3\times 7$$

تبسيط.

$$6x-4y=12,6x+9y=21$$

اطرح 6x+9y=21 من 6x-4y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-4y-9y=12-21$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-9y=12-21$$

اجمع -4y مع -9y.

$$-13y=12-21$$

اجمع 12 مع -21.

$$-13y=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=\frac{9}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{13} في 2x+3y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\times \frac{9}{13}=7$$

اضرب 3 في \frac{9}{13}.

$$2x+\frac{27}{13}=7$$

اطرح \frac{27}{13} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{64}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{32}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{32}{13},y=\frac{9}{13}$$