حل {l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=5$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+5}{3} في المعادلة الأخرى، -3x+4y=-9.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

اضرب -3 في \frac{2y+5}{3}.

$$-2y-5+4y=-9$$

اجمع -2y مع 4y.

$$2y-5=-9$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$2y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

اضرب \frac{2}{3} في -2.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

اجمع \frac{5}{3} مع -\frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

لجعل 3x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

اطرح -9x+12y=-27 من -9x+6y=-15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

اجمع -9x مع 9x. حذف الحدين -9x و9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-12y=-15+27$$

اجمع 6y مع -12y.

$$-6y=-15+27$$

اجمع -15 مع 27.

$$-6y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -3x+4y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

اضرب 4 في -2.

$$-3x-8=-9$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$