حل {l}{3x-2y=3}{2x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 3 } \\ { 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=3,2x+2y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=3$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y+3.

$$x=\frac{2}{3}y+1$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y}{3}+1 في المعادلة الأخرى، 2x+2y=8.

$$2\left(\frac{2}{3}y+1\right)+2y=8$$

اضرب 2 في \frac{2y}{3}+1.

$$\frac{4}{3}y+2+2y=8$$

اجمع \frac{4y}{3} مع 2y.

$$\frac{10}{3}y+2=8$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$\frac{10}{3}y=6$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{10}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{9}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{5} في x=\frac{2}{3}y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{9}{5}+1$$

اضرب \frac{2}{3} في \frac{9}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{6}{5}+1$$

اجمع 1 مع \frac{6}{5}.

$$x=\frac{11}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{5},y=\frac{9}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=3,2x+2y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}\times 3+\frac{3}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{11}{5},y=\frac{9}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=3,2x+2y=8$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 3,3\times 2x+3\times 2y=3\times 8$$

تبسيط.

$$6x-4y=6,6x+6y=24$$

اطرح 6x+6y=24 من 6x-4y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-4y-6y=6-24$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-6y=6-24$$

اجمع -4y مع -6y.

$$-10y=6-24$$

اجمع 6 مع -24.

$$-10y=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=\frac{9}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{5} في 2x+2y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+2\times \frac{9}{5}=8$$

اضرب 2 في \frac{9}{5}.

$$2x+\frac{18}{5}=8$$

اطرح \frac{18}{5} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{22}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{11}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11}{5},y=\frac{9}{5}$$