حل {l}{3x-2y=1}{x+y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 1 } \\ { x + y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=1,x+y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=1$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+1}{3} في المعادلة الأخرى، x+y=12.

$$\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}+y=12$$

اجمع \frac{2y}{3} مع y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}=12$$

اطرح \frac{1}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{3}y=\frac{35}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}$$

اضرب \frac{2}{3} في 7.

$$x=\frac{14+1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع \frac{14}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=1,x+y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 12\\-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=1,x+y=12$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x-2y=1,3x+3y=3\times 12$$

تبسيط.

$$3x-2y=1,3x+3y=36$$

اطرح 3x+3y=36 من 3x-2y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x-2y-3y=1-36$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-3y=1-36$$

اجمع -2y مع -3y.

$$-5y=1-36$$

اجمع 1 مع -36.

$$-5y=-35$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x+y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+7=12$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=7$$