حل {l}{3x-2y=1}{9x-5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 1 } \\ { 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=1,9x-5y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=1$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+1}{3} في المعادلة الأخرى، 9x-5y=1.

$$9\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-5y=1$$

اضرب 9 في \frac{2y+1}{3}.

$$6y+3-5y=1$$

اجمع 6y مع -5y.

$$y+3=1$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}$$

اضرب \frac{2}{3} في -2.

$$x=\frac{-4+1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع -\frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=1,9x-5y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-5+2}{3}\\-3+1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=1,9x-5y=1$$

لجعل 3x و9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$9\times 3x+9\left(-2\right)y=9,3\times 9x+3\left(-5\right)y=3$$

تبسيط.

$$27x-18y=9,27x-15y=3$$

اطرح 27x-15y=3 من 27x-18y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$27x-27x-18y+15y=9-3$$

اجمع 27x مع -27x. حذف الحدين 27x و-27x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-18y+15y=9-3$$

اجمع -18y مع 15y.

$$-3y=9-3$$

اجمع 9 مع -3.

$$-3y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 9x-5y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$9x-5\left(-2\right)=1$$

اضرب -5 في -2.

$$9x+10=1$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$9x=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-2$$