حل {l}{3x-2y=-3}{2x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 3 } \\ { 2 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=-3$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y}{3}-1 في المعادلة الأخرى، 2x+4y=2.

$$2\left(\frac{2}{3}y-1\right)+4y=2$$

اضرب 2 في \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{4}{3}y-2+4y=2$$

اجمع \frac{4y}{3} مع 4y.

$$\frac{16}{3}y-2=2$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{16}{3}y=4$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{16}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{3}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{4} في x=\frac{2}{3}y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}-1$$

اضرب \frac{2}{3} في \frac{3}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{2}-1$$

اجمع -1 مع \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{8}\times 2\\-\frac{1}{8}\left(-3\right)+\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 2$$

تبسيط.

$$6x-4y=-6,6x+12y=6$$

اطرح 6x+12y=6 من 6x-4y=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-4y-12y=-6-6$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-12y=-6-6$$

اجمع -4y مع -12y.

$$-16y=-6-6$$

اجمع -6 مع -6.

$$-16y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -16.

$$y=\frac{3}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{4} في 2x+4y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+4\times \frac{3}{4}=2$$

اضرب 4 في \frac{3}{4}.

$$2x+3=2$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$2x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$