حل {l}{3x-2y=-10}{5x-11y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 10 } \\ { 5 x - 11 y = - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=-10$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-10\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -10+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-10+2y}{3} في المعادلة الأخرى، 5x-11y=-9.

$$5\left(\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-11y=-9$$

اضرب 5 في \frac{-10+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{50}{3}-11y=-9$$

اجمع \frac{10y}{3} مع -11y.

$$-\frac{23}{3}y-\frac{50}{3}=-9$$

أضف \frac{50}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{23}{3}y=\frac{23}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{23}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{10}{3}$$

اضرب \frac{2}{3} في -1.

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

اجمع -\frac{10}{3} مع -\frac{2}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&-\frac{2}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\left(-10\right)-\frac{2}{23}\left(-9\right)\\\frac{5}{23}\left(-10\right)-\frac{3}{23}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-4,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

لجعل 3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-10\right),3\times 5x+3\left(-11\right)y=3\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$15x-10y=-50,15x-33y=-27$$

اطرح 15x-33y=-27 من 15x-10y=-50 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x-10y+33y=-50+27$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y+33y=-50+27$$

اجمع -10y مع 33y.

$$23y=-50+27$$

اجمع -50 مع 27.

$$23y=-23$$

قسمة طرفي المعادلة على 23.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 5x-11y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-11\left(-1\right)=-9$$

اضرب -11 في -1.

$$5x+11=-9$$

اطرح 11 من طرفي المعادلة.

$$5x=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-4,y=-1$$