حل {l}{3x=2y}{5x+4y=2200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = 2 y } \\ { 5 x + 4 y = 2200 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=200$$

$$y=300$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$3x-2y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=0$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y.

$$x=\frac{2}{3}y$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y}{3} في المعادلة الأخرى، 5x+4y=2200.

$$5\times \frac{2}{3}y+4y=2200$$

اضرب 5 في \frac{2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+4y=2200$$

اجمع \frac{10y}{3} مع 4y.

$$\frac{22}{3}y=2200$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{22}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=300$$

عوّض عن y بالقيمة 300 في x=\frac{2}{3}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times 300$$

اضرب \frac{2}{3} في 300.

$$x=200$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=200,y=300$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$3x-2y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2200\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 2200\\\frac{3}{22}\times 2200\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\300\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=200,y=300$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$3x-2y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=0,5x+4y=2200$$

لجعل 3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=0,3\times 5x+3\times 4y=3\times 2200$$

تبسيط.

$$15x-10y=0,15x+12y=6600$$

اطرح 15x+12y=6600 من 15x-10y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x-10y-12y=-6600$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y-12y=-6600$$

اجمع -10y مع -12y.

$$-22y=-6600$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=300$$

عوّض عن y بالقيمة 300 في 5x+4y=2200. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+4\times 300=2200$$

اضرب 4 في 300.

$$5x+1200=2200$$

اطرح 1200 من طرفي المعادلة.

$$5x=1000$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=200$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=200,y=300$$