حل {l}{3x+y=3}{5x-y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 3 } \\ { 5 x - y = 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = -\frac{15}{4} = -3\frac{3}{4} = -3.75$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=3$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+3.

$$x=-\frac{1}{3}y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{3}+1 في المعادلة الأخرى، 5x-y=15.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+1\right)-y=15$$

اضرب 5 في -\frac{y}{3}+1.

$$-\frac{5}{3}y+5-y=15$$

اجمع -\frac{5y}{3} مع -y.

$$-\frac{8}{3}y+5=15$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{8}{3}y=10$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{15}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{15}{4} في x=-\frac{1}{3}y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{15}{4}\right)+1$$

اضرب -\frac{1}{3} في -\frac{15}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{4}+1$$

اجمع 1 مع \frac{5}{4}.

$$x=\frac{9}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 3+\frac{1}{8}\times 15\\\frac{5}{8}\times 3-\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{15}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=3,5x-y=15$$

لجعل 3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3x+5y=5\times 3,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 15$$

تبسيط.

$$15x+5y=15,15x-3y=45$$

اطرح 15x-3y=45 من 15x+5y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+5y+3y=15-45$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+3y=15-45$$

اجمع 5y مع 3y.

$$8y=15-45$$

اجمع 15 مع -45.

$$8y=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=-\frac{15}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{15}{4} في 5x-y=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-\left(-\frac{15}{4}\right)=15$$

اطرح \frac{15}{4} من طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{45}{4}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{9}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{4},y=-\frac{15}{4}$$