حل {l}{3x+y=2}{5x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 5 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=2$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+2}{3} في المعادلة الأخرى، 5x-y=8.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=8$$

اضرب 5 في \frac{-y+2}{3}.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}-y=8$$

اجمع -\frac{5y}{3} مع -y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=8$$

اطرح \frac{10}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{8}{3}y=\frac{14}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{7}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{7}{4} في x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}\right)+\frac{2}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في -\frac{7}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع \frac{7}{12} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

لجعل 3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3x+5y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8$$

تبسيط.

$$15x+5y=10,15x-3y=24$$

اطرح 15x-3y=24 من 15x+5y=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+5y+3y=10-24$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+3y=10-24$$

اجمع 5y مع 3y.

$$8y=10-24$$

اجمع 10 مع -24.

$$8y=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=-\frac{7}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{7}{4} في 5x-y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-\left(-\frac{7}{4}\right)=8$$

اطرح \frac{7}{4} من طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{25}{4}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{5}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$