حل {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-22$$

$$y=77$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=11$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+11.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+11}{3} في المعادلة الأخرى، -4x-y=11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

اضرب -4 في \frac{-y+11}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

اجمع \frac{4y}{3} مع -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

أضف \frac{44}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=77$$

عوّض عن y بالقيمة 77 في x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في 77.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

اجمع \frac{11}{3} مع -\frac{77}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-22$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-22,y=77$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-22,y=77$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

لجعل 3x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

تبسيط.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

اطرح -12x-3y=33 من -12x-4y=-44 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

اجمع -12x مع 12x. حذف الحدين -12x و12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y+3y=-44-33$$

اجمع -4y مع 3y.

$$-y=-44-33$$

اجمع -44 مع -33.

$$-y=-77$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=77$$

عوّض عن y بالقيمة 77 في -4x-y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x-77=11$$

أضف 77 إلى طرفي المعادلة.

$$-4x=88$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-22$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-22,y=77$$