حل {l}{3x+9y-15=48}{-2x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 9 y - 15 = 48 } \\ { - 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+9y-15=48$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$3x+9y=63$$

اطرح 9y من طرفي المعادلة.

$$3x=-9y+63$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9y+63\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -9y+63.

$$x=-3y+21$$

عوّض عن x بالقيمة -3y+21 في المعادلة الأخرى، -2x+3y=3.

$$-2\left(-3y+21\right)+3y=3$$

اضرب -2 في -3y+21.

$$6y-42+3y=3$$

اجمع 6y مع 3y.

$$9y-42=3$$

أضف 42 إلى طرفي المعادلة.

$$9y=45$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-3y+21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3\times 5+21$$

اضرب -3 في 5.

$$x=-15+21$$

اجمع 21 مع -15.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\times 3-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 63-\frac{1}{3}\times 3\\\frac{2}{27}\times 63+\frac{1}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

لجعل 3x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-2\times 3x-2\times 9y-2\left(-15\right)=-2\times 48,3\left(-2\right)x+3\times 3y=3\times 3$$

تبسيط.

$$-6x-18y+30=-96,-6x+9y=9$$

اطرح -6x+9y=9 من -6x-18y+30=-96 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-6x+6x-18y-9y+30=-96-9$$

اجمع -6x مع 6x. حذف الحدين -6x و6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-18y-9y+30=-96-9$$

اجمع -18y مع -9y.

$$-27y+30=-96-9$$

اجمع -96 مع -9.

$$-27y+30=-105$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$-27y=-135$$

قسمة طرفي المعادلة على -27.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في -2x+3y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+3\times 5=3$$

اضرب 3 في 5.

$$-2x+15=3$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$-2x=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=5$$