حل {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+6y=24$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$3x=-6y+24$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -6y+24.

$$x=-2y+8$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+8 في المعادلة الأخرى، 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

اضرب 9 في -2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

اجمع -18y مع 5y.

$$-13y+72=68$$

اطرح 72 من طرفي المعادلة.

$$-13y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=\frac{4}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4}{13} في x=-2y+8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

اضرب -2 في \frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

اجمع 8 مع -\frac{8}{13}.

$$x=\frac{96}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

لجعل 3x و9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

تبسيط.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

اطرح 27x+15y=204 من 27x+54y=216 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

اجمع 27x مع -27x. حذف الحدين 27x و-27x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$54y-15y=216-204$$

اجمع 54y مع -15y.

$$39y=216-204$$

اجمع 216 مع -204.

$$39y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 39.

$$y=\frac{4}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4}{13} في 9x+5y=68. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

اضرب 5 في \frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

اطرح \frac{20}{13} من طرفي المعادلة.

$$9x=\frac{864}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{96}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$