حل {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+5y=4$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$3x=-5y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+4}{3} في المعادلة الأخرى، -3x+4y=11.

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

اضرب -3 في \frac{-5y+4}{3}.

$$5y-4+4y=11$$

اجمع 5y مع 4y.

$$9y-4=11$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$9y=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=\frac{5}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{3} في x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

اضرب -\frac{5}{3} في \frac{5}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

اجمع \frac{4}{3} مع -\frac{25}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{13}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

لجعل 3x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

تبسيط.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

اطرح -9x+12y=33 من -9x-15y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

اجمع -9x مع 9x. حذف الحدين -9x و9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y-12y=-12-33$$

اجمع -15y مع -12y.

$$-27y=-12-33$$

اجمع -12 مع -33.

$$-27y=-45$$

قسمة طرفي المعادلة على -27.

$$y=\frac{5}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{3} في -3x+4y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

اضرب 4 في \frac{5}{3}.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

اطرح \frac{20}{3} من طرفي المعادلة.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-\frac{13}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$