حل {l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+5y=1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$3x=-5y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+1}{3} في المعادلة الأخرى، 2x-3y=0.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

اضرب 2 في \frac{-5y+1}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

اجمع -\frac{10y}{3} مع -3y.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

اطرح \frac{2}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{19}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{2}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{19} في x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{5}{3} في \frac{2}{19} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع -\frac{10}{57} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{3}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

تبسيط.

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

اطرح 6x-9y=0 من 6x+10y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+10y+9y=2$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y+9y=2$$

اجمع 10y مع 9y.

$$19y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=\frac{2}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{19} في 2x-3y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

اضرب -3 في \frac{2}{19}.

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

أضف \frac{6}{19} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{6}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{3}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$