حل {l}{3x+5y=-3}{2x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 3 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+5y=-3,2x+3y=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+5y=-3$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$3x=-5y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-3\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5y-3.

$$x=-\frac{5}{3}y-1$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{3}-1 في المعادلة الأخرى، 2x+3y=-1.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-1\right)+3y=-1$$

اضرب 2 في -\frac{5y}{3}-1.

$$-\frac{10}{3}y-2+3y=-1$$

اجمع -\frac{10y}{3} مع 3y.

$$-\frac{1}{3}y-2=-1$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-\frac{5}{3}y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-1$$

اضرب -\frac{5}{3} في -3.

$$x=5-1$$

اجمع -1 مع 5.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+5y=-3,2x+3y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-3\right)+5\left(-1\right)\\2\left(-3\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+5y=-3,2x+3y=-1$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$6x+10y=-6,6x+9y=-3$$

اطرح 6x+9y=-3 من 6x+10y=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+10y-9y=-6+3$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-9y=-6+3$$

اجمع 10y مع -9y.

$$y=-6+3$$

اجمع -6 مع 3.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 2x+3y=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\left(-3\right)=-1$$

اضرب 3 في -3.

$$2x-9=-1$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-3$$