حل {l}{3x+5y=-1}{3x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 1 } \\ { 3 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+5y=-1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$3x=-5y-1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5y-1.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y-1}{3} في المعادلة الأخرى، 3x+y=3.

$$3\left(-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)+y=3$$

اضرب 3 في \frac{-5y-1}{3}.

$$-5y-1+y=3$$

اجمع -5y مع y.

$$-4y-1=3$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$-4y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{5}{3} في -1.

$$x=\frac{5-1}{3}$$

اجمع -\frac{1}{3} مع \frac{5}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{4}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 3}&-\frac{5}{3-5\times 3}\\-\frac{3}{3-5\times 3}&\frac{3}{3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{5}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)+\frac{5}{12}\times 3\\\frac{1}{4}\left(-1\right)-\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

اطرح 3x+y=3 من 3x+5y=-1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+5y-y=-1-3$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y-y=-1-3$$

اجمع 5y مع -y.

$$4y=-1-3$$

اجمع -1 مع -3.

$$4y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 3x+y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-1=3$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{4}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$