حل {l}{3x+4y=5}{5x+5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 5 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+4y=5$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$3x=-4y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y+5}{3} في المعادلة الأخرى، 5x+5y=7.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=7$$

اضرب 5 في \frac{-4y+5}{3}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{25}{3}+5y=7$$

اجمع -\frac{20y}{3} مع 5y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}=7$$

اطرح \frac{25}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{4}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{4}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4}{5} في x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في \frac{4}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{16}{15}+\frac{5}{3}$$

اجمع \frac{5}{3} مع -\frac{16}{15} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{3}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&\frac{3}{3\times 5-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{4}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+\frac{4}{5}\times 7\\5-\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

لجعل 3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 5,3\times 5x+3\times 5y=3\times 7$$

تبسيط.

$$15x+20y=25,15x+15y=21$$

اطرح 15x+15y=21 من 15x+20y=25 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+20y-15y=25-21$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y-15y=25-21$$

اجمع 20y مع -15y.

$$5y=25-21$$

اجمع 25 مع -21.

$$5y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{4}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4}{5} في 5x+5y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+5\times \frac{4}{5}=7$$

اضرب 5 في \frac{4}{5}.

$$5x+4=7$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$5x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{3}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$