حل {l}{3x+2y-7=0}{x-5y+9=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 7 = 0 } \\ { x - 5 y + 9 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y-7=0$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$3x+2y=7$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+7}{3} في المعادلة الأخرى، x-5y+9=0.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-5y+9=0$$

اجمع -\frac{2y}{3} مع -5y.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{7}{3}+9=0$$

اجمع \frac{7}{3} مع 9.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{34}{3}=0$$

اطرح \frac{34}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{17}{3}y=-\frac{34}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع -\frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 7+\frac{2}{17}\left(-9\right)\\\frac{1}{17}\times 7-\frac{3}{17}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x+2y-7=0,3x+3\left(-5\right)y+3\times 9=0$$

تبسيط.

$$3x+2y-7=0,3x-15y+27=0$$

اطرح 3x-15y+27=0 من 3x+2y-7=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+2y+15y-7-27=0$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+15y-7-27=0$$

اجمع 2y مع 15y.

$$17y-7-27=0$$

اجمع -7 مع -27.

$$17y-34=0$$

أضف 34 إلى طرفي المعادلة.

$$17y=34$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x-5y+9=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-5\times 2+9=0$$

اضرب -5 في 2.

$$x-10+9=0$$

اجمع -10 مع 9.

$$x-1=0$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$