حل {l}{3x+2y=7}{4x-3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x - 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=7,4x-3y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=7$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+7}{3} في المعادلة الأخرى، 4x-3y=-2.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-3y=-2$$

اضرب 4 في \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}-3y=-2$$

اجمع -\frac{8y}{3} مع -3y.

$$-\frac{17}{3}y+\frac{28}{3}=-2$$

اطرح \frac{28}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{17}{3}y=-\frac{34}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في 2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع -\frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=7,4x-3y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{4}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\left(-2\right)\\\frac{4}{17}\times 7-\frac{3}{17}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=7,4x-3y=-2$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$12x+8y=28,12x-9y=-6$$

اطرح 12x-9y=-6 من 12x+8y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+8y+9y=28+6$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y+9y=28+6$$

اجمع 8y مع 9y.

$$17y=28+6$$

اجمع 28 مع 6.

$$17y=34$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 4x-3y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-3\times 2=-2$$

اضرب -3 في 2.

$$4x-6=-2$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$