حل {l}{3x+2y=1}{2x-7y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 2 x - 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=1$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+1}{3} في المعادلة الأخرى، 2x-7y=-2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-2$$

اضرب 2 في \frac{-2y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}-7y=-2$$

اجمع -\frac{4y}{3} مع -7y.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{2}{3}=-2$$

اطرح \frac{2}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{25}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{8}{25}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8}{25} في x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{8}{25} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع -\frac{16}{75} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{3}{25}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}+\frac{2}{25}\left(-2\right)\\\frac{2}{25}-\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2,3\times 2x+3\left(-7\right)y=3\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$6x+4y=2,6x-21y=-6$$

اطرح 6x-21y=-6 من 6x+4y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+4y+21y=2+6$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y+21y=2+6$$

اجمع 4y مع 21y.

$$25y=2+6$$

اجمع 2 مع 6.

$$25y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$y=\frac{8}{25}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8}{25} في 2x-7y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-7\times \frac{8}{25}=-2$$

اضرب -7 في \frac{8}{25}.

$$2x-\frac{56}{25}=-2$$

أضف \frac{56}{25} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{6}{25}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{3}{25}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$