حل {l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=1$$

$$n=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$3m+4n=7$$

اطرح 4n من طرفي المعادلة.

$$3m=-4n+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -4n+7.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

عوّض عن m بالقيمة \frac{-4n+7}{3} في المعادلة الأخرى، 4m-3n-1=0.

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

اضرب 4 في \frac{-4n+7}{3}.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

اجمع -\frac{16n}{3} مع -3n.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

اجمع \frac{28}{3} مع -1.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

اطرح \frac{25}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{25}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$n=1$$

عوّض عن n بالقيمة 1 في m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع -\frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=1,n=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=1,n=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

لجعل 3m و4m متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

تبسيط.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

اطرح 12m-9n-3=0 من 12m+16n=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

اجمع 12m مع -12m. حذف الحدين 12m و-12m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$16n+9n+3=28$$

اجمع 16n مع 9n.

$$25n+3=28$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$25n=25$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$n=1$$

عوّض عن n بالقيمة 1 في 4m-3n-1=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$4m-3-1=0$$

اجمع -3 مع -1.

$$4m-4=0$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$4m=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$m=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=1,n=1$$