حل {l}{3a-4b=2}{5a+4b=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a - 4 b = 2 } \\ { 5 a + 4 b = 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=2$$

$$b=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3a-4b=2,5a+4b=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$3a-4b=2$$

أضف 4b إلى طرفي المعادلة.

$$3a=4b+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(4b+2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 4b+2.

$$a=\frac{4}{3}b+\frac{2}{3}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{4b+2}{3} في المعادلة الأخرى، 5a+4b=14.

$$5\left(\frac{4}{3}b+\frac{2}{3}\right)+4b=14$$

اضرب 5 في \frac{4b+2}{3}.

$$\frac{20}{3}b+\frac{10}{3}+4b=14$$

اجمع \frac{20b}{3} مع 4b.

$$\frac{32}{3}b+\frac{10}{3}=14$$

اطرح \frac{10}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{32}{3}b=\frac{32}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{32}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=1$$

عوّض عن b بالقيمة 1 في a=\frac{4}{3}b+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=\frac{4+2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع \frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=2,b=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3a-4b=2,5a+4b=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{32}&\frac{3}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 14\\-\frac{5}{32}\times 2+\frac{3}{32}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=2,b=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3a-4b=2,5a+4b=14$$

لجعل 3a و5a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3a+5\left(-4\right)b=5\times 2,3\times 5a+3\times 4b=3\times 14$$

تبسيط.

$$15a-20b=10,15a+12b=42$$

اطرح 15a+12b=42 من 15a-20b=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15a-15a-20b-12b=10-42$$

اجمع 15a مع -15a. حذف الحدين 15a و-15a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-20b-12b=10-42$$

اجمع -20b مع -12b.

$$-32b=10-42$$

اجمع 10 مع -42.

$$-32b=-32$$

قسمة طرفي المعادلة على -32.

$$b=1$$

عوّض عن b بالقيمة 1 في 5a+4b=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$5a+4=14$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$5a=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$a=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=2,b=1$$