حل {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$3a+14b=4$$

اطرح 14b من طرفي المعادلة.

$$3a=-14b+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-14b+4}{3} في المعادلة الأخرى، 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

اضرب 13 في \frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

اجمع -\frac{182b}{3} مع 19b.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

اطرح \frac{52}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{125}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=\frac{13}{125}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{13}{125} في a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

اضرب -\frac{14}{3} في \frac{13}{125} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

اجمع \frac{4}{3} مع -\frac{182}{375} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=\frac{106}{125}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

لجعل 3a و13a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 13 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

تبسيط.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

اطرح 39a+57b=39 من 39a+182b=52 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

اجمع 39a مع -39a. حذف الحدين 39a و-39a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$182b-57b=52-39$$

اجمع 182b مع -57b.

$$125b=52-39$$

اجمع 52 مع -39.

$$125b=13$$

قسمة طرفي المعادلة على 125.

$$b=\frac{13}{125}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{13}{125} في 13a+19b=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

اضرب 19 في \frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

اطرح \frac{247}{125} من طرفي المعادلة.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$a=\frac{106}{125}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$