حل {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=10$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y-1.

$$3x-3=2y-2$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$3x-3-2y=-2$$

إضافة 3 لكلا الجانبين.

$$3x-2y=-2+3$$

اجمع -2 مع 3 لتحصل على 1.

$$3x-2y=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+5.

$$4y-4=3x+15$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$4y-4-3x=15$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$4y-3x=15+4$$

اجمع 15 مع 4 لتحصل على 19.

$$4y-3x=19$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x-2y=1$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$3x=2y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+1}{3} في المعادلة الأخرى، -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

اضرب -3 في \frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

اجمع -2y مع 4y.

$$2y-1=19$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$2y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

اضرب \frac{2}{3} في 10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع \frac{20}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y-1.

$$3x-3=2y-2$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$3x-3-2y=-2$$

إضافة 3 لكلا الجانبين.

$$3x-2y=-2+3$$

اجمع -2 مع 3 لتحصل على 1.

$$3x-2y=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+5.

$$4y-4=3x+15$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$4y-4-3x=15$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$4y-3x=15+4$$

اجمع 15 مع 4 لتحصل على 19.

$$4y-3x=19$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=10$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y-1.

$$3x-3=2y-2$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$3x-3-2y=-2$$

إضافة 3 لكلا الجانبين.

$$3x-2y=-2+3$$

اجمع -2 مع 3 لتحصل على 1.

$$3x-2y=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+5.

$$4y-4=3x+15$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$4y-4-3x=15$$

إضافة 4 لكلا الجانبين.

$$4y-3x=15+4$$

اجمع 15 مع 4 لتحصل على 19.

$$4y-3x=19$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

لجعل 3x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

تبسيط.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

اطرح -9x+12y=57 من -9x+6y=-3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

اجمع -9x مع 9x. حذف الحدين -9x و9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-12y=-3-57$$

اجمع 6y مع -12y.

$$-6y=-3-57$$

اجمع -3 مع -57.

$$-6y=-60$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في -3x+4y=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+4\times 10=19$$

اضرب 4 في 10.

$$-3x+40=19$$

اطرح 40 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-21$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=10$$