حل {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

اجمع 3x مع -2x لتحصل على x.

$$x+3y+9=-2y$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$x+3y+9+2y=0$$

اجمع 3y مع 2y لتحصل على 5y.

$$x+5y+9=0$$

اطرح 9 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x+5y=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

اجمع 2x مع -3x لتحصل على -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$-x+2y+3y=-4$$

اجمع 2y مع 3y لتحصل على 5y.

$$-x+5y=-4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+5y=-9$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$x=-5y-9$$

عوّض عن x بالقيمة -5y-9 في المعادلة الأخرى، -x+5y=-4.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

اضرب -1 في -5y-9.

$$5y+9+5y=-4$$

اجمع 5y مع 5y.

$$10y+9=-4$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$10y=-13$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=-\frac{13}{10}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{13}{10} في x=-5y-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

اضرب -5 في -\frac{13}{10}.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

اجمع -9 مع \frac{13}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

اجمع 3x مع -2x لتحصل على x.

$$x+3y+9=-2y$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$x+3y+9+2y=0$$

اجمع 3y مع 2y لتحصل على 5y.

$$x+5y+9=0$$

اطرح 9 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x+5y=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

اجمع 2x مع -3x لتحصل على -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$-x+2y+3y=-4$$

اجمع 2y مع 3y لتحصل على 5y.

$$-x+5y=-4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

اجمع 3x مع -2x لتحصل على x.

$$x+3y+9=-2y$$

إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$x+3y+9+2y=0$$

اجمع 3y مع 2y لتحصل على 5y.

$$x+5y+9=0$$

اطرح 9 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x+5y=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

اطرح 3x من الطرفين.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

اجمع 2x مع -3x لتحصل على -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$-x+2y+3y=-4$$

اجمع 2y مع 3y لتحصل على 5y.

$$-x+5y=-4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

اطرح -x+5y=-4 من x+5y=-9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

اجمع 5y مع -5y. حذف الحدين 5y و-5y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x+x=-9+4$$

اجمع x مع x.

$$2x=-9+4$$

اجمع -9 مع 4.

$$2x=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5}{2} في -x+5y=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

اضرب -1 في -\frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-\frac{13}{10}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$